知識ゼロから始める、制御工学の基礎

以前から何度か制御工学について記事は書いていますが、正直、過去記事にはふわっとしたことしか書いていません。

なので、これから制御工学についてちょっと勉強しようかな、と思っている人が読んでも「こんな使いみちがあるのか」ぐらいで、具合的な理解には殆ど役に立たないと思います。笑

そこで、今回はちょっと踏み込んで、

制御工学では具体的にどういう問題を扱うのか
どんなツールを使って問題を解決していくのか

ということについて書いてみようと思います。

大学の講義風にいうと制御工学概論、って感じですかね。

そもそも “制御” とは何か
制御理論の分類と特徴
本日のまとめ
参考文献
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そもそも “制御” とは何か

そもそも “制御” するってどういうことでしょう？一言でいうと、

”動かす対象” を ”狙い通り” に動かすこと

です。なぜこんなところからスタートするかというと、上の文言が制御問題の定式化につながるから。より工学っぽく言えば、

“制御対象” を “要件” を満たすように動かすこと

と言えます。従って、制御工学で行っていることは大雑把にいうと下記の３つです。

制御対象の振る舞いを数式を用いて表現する
要件を定量的に（具体的な数値や数式で）表現する
上記2つを用いて、要件を満たす制御入力（動かし方）を求める問題を解く

…こうやって言葉で書いてしまうと非常にシンプルなのですが、数式を使って制御対象の振る舞いを表現したり、要件を表すにはそれなりに色々な知識が必要になるので、真面目に勉強するとけっこう大変です。。

ここでは、制御工学を学ぶきっかけとなることを目標として、

なるべく数学的な用語を使わずに説明します。

制御理論の分類と特徴

制御工学で扱われる理論は、大きく分けて古典制御、現代制御、非線形制御の３つあります。（大学や専門学校の講義で習うのは古典制御、現代制御だけだと思います）

それぞれの特徴は下記の通り。

まあ、いきなり見せられてもナンノコッチャって感じだと思うので、以下、１つずつ解説していきます。

古典制御

大学の授業で真っ先に習うのがこの古典制御理論。厳密に言えば多入力多出力のシステムも扱えなくはないのですが、理論的に難しくなってしまうため、１入力１出力のシステムを扱うことが多いです。

制御対象の表現（伝達関数）

古典制御では、入出力の関係を考慮し、伝達関数というものを使って制御対象の振る舞いを表現します。

伝達関数の意味合いとしては、制御対象に正弦波を入力したときに、振幅や周波数がどう変化するかを表したものになります。

なぜ正弦波なのか？と疑問に思われるかもしれませんが、その理由は、超大雑把にいえば、任意の信号は正弦波の重ね合わせで表現できるという考えに基づいています。

信号が様々な周波数の正弦波の重ね合わせでできているということは、どの周波数成分がどれぐらい含まれているのか、というものを考えることができます。これを、周波数を軸として示したものを周波数領域での表現といいます。

そして、この周波数領域での信号を用いると、

出力信号 = 伝達関数×入力信号

と、シンプルに表すことができます。

制御の要件定義と制御器の設計

制御対象の伝達関数がわかったあと、次に考えるべきことは

どういう制御をしたいのか

ということですが、制御の狙いとして代表的なのは

安定化（出力を０に収束させる）
目標値追従（出力を目標値に収束させる）

です。上記にプラスして、何秒以内に収束させるだとか、なるべく消費エネルギーを抑えるだとか、外乱に強くしたいだとか、追加の要件を考えることも多いですが、大きな狙いとしては上の２つが多いです。

要件が決まったら、それを達成できるような制御器を設計します。もう少し具体的に言うと、制御要件を満たせる制御器の伝達関数を求めます。

例として、目標値追従のための制御器設計までの流れを下記に示しておきます。

しれっと書いてますが、時間領域から周波数領域に信号を変換するのは、ラプラス変換というものを使います。定義含め、ラプラス変換を数学的に正しく理解するのは色んな前提知識がいるのでかなり難しいとは思いますが、基本的な関数のラプラス変換であればラプラス変換表という早見表みたいなのがあるので（ググればすぐ出てくる）、それを使えば簡単な制御器設計くらいはできてしまうかもしれません。

古典制御のポイント

時間領域の信号をラプラス変換で周波数領域の信号に変換して考える
制御器の設計とは、制御器の伝達関数を求めること

現代制御

古典制御では伝達関数を用いていたのに対して、現代制御では状態空間表現という形でシステムを表現できます。

状態空間表現

状態空間表現とは、制御対象の内部状態をx、制御入力をu、出力をyとして、

$\begin{align*} \left\{ \begin{matrix} \dot{x}=Ax+Bu\\ y=Cx+Du \end{matrix} \end{align*}$

の形で表現したものをいいます。ここで A, B, C, D は行列、x, ｕ, y はそれぞれベクトルになるため、複数の状態、入力、出力を持つシステムを扱うことができます。図で表すとこんな感じ。古典制御では入力 u と出力 y しか考えていなかったのに対し、下記では制御対象の内部状態として x が考慮されています。